ELECTRICAL ENERGY SYSTEMS / 学习桌

Exam 1秋季 2026·20 分·2 小问

题目 04

三相复功率与电容补偿

复功率 · 功率因数补偿·先写方程，再代入数值。

01试卷原题原题措辞

三个负载并联接在一个 12.47 kV 的三相电源上。

负载 1：感性负载，60 kW 和 660 kvar。

负载 2：容性负载，240 kW，功率因数为 0.8。

负载 3：60 kW 的电阻性负载。

02一步一步推导

先读懂这道题

相加各负载的复功率，感性无功取正、容性无功取负。将电源额定电压解释为线电压有效值，按平衡三相关系求线电流。补偿时有功功率保持不变，先由目标功率因数求补偿后的无功，再求星形电容器组所需的容量。

讲义回顾

a求总复功率、功率因数和电源电流。

使用第 2 讲 PDF 第 13–14 页的复功率叠加关系，以及公式表中的平衡三相功率关系（第 3 讲 PDF 第 15 页也给出）：

S_T=\sum_k(P_k+jQ_k),\qquad Q=P\tan\theta,\qquad \mathrm{PF}=\frac{P}{|S|},\qquad S_T=3V_{an}I_a^*.

题给功率均按三相总功率解释。与官方解答一致，假定负载平衡， $12.47\,\mathrm{kV}$ 为线电压有效值，取电源相电压 $V_{an}$ 为零相位参考。负载 2 为容性，故功率因数超前、无功为负：

\begin{aligned} \theta_2&=\cos^{-1}(0.8)=36.8699^\circ,\\ Q_2&=-240\tan36.8699^\circ=-180\,\mathrm{kvar},\\ S_1&=60+j660\,\mathrm{kVA},\quad S_2=240-j180\,\mathrm{kVA},\quad S_3=60+j0\,\mathrm{kVA},\\ S_T&=(60+240+60)+j(660-180+0)=360+j480\,\mathrm{kVA},\\ |S_T|&=\sqrt{360^2+480^2}=600\,\mathrm{kVA},\qquad \theta_T=\tan^{-1}\frac{480}{360}=53.1301^\circ. \end{aligned}

先换算相电压，再在求电流时对总复功率取共轭：

\begin{aligned} V_{an}&=\frac{12470}{\sqrt3}\angle0^\circ=7199.56\angle0^\circ\,\mathrm V,\\ I_a&=\frac{S_T^*}{3V_{an}^*}=\frac{(360-j480)10^3}{\sqrt3(12470)}\\ &=16.6677-j22.2236\,\mathrm A. \end{aligned}

总无功为正，电流滞后相电压，结果为

\boxed{S_T=(360+j480)\,\mathrm{kVA}=600\angle53.13^\circ\,\mathrm{kVA},\quad \mathrm{PF}=0.600\text{（滞后）},\quad I_a=27.7795\angle-53.13^\circ\,\mathrm A.}

核对说明

原卷扫描件中的手写电流

48.115\,\mathrm A

是把视在功率直接除以线电压所得，漏掉了三相系数

\sqrt3

。官方解答使用

3V_{an}

，得到约

27.77\,\mathrm A

。本解保留题给的

12.47\,\mathrm{kV}

，不先把相电压舍入为

7.2\,\mathrm{kV}

。

b将一个星形连接的电容器组与各负载并联。求使总功率因数提高至 0.8（滞后）所需的总 kvar 数和每相电容（单位为

\mu\mathrm F

）。新的线电流是多少？

使用目标功率三角形，以及电容电流关系 $I_C=j\omega CV_{\mathrm{ph}}$ 。把电流代入三相复功率 $S=3V_{\mathrm{ph}}I_C^*$ ，得到电容器组的负无功：

Q'=P\tan(\cos^{-1}\mathrm{PF}'),\qquad Q_C=-3\omega C V_{\mathrm{ph}}^2=-\omega C V_L^2.

由 (a) 得 $P=360\,\mathrm{kW}$ 、 $Q=480\,\mathrm{kvar}$ 。目标功率因数为 $0.8$ 滞后。原题没有给频率，本解与官方答案一样采用 $f=60\,\mathrm{Hz}$ ，同时保留一般频率下的依赖关系。先求需要减少的无功：

\begin{aligned} Q'&=360\tan(\cos^{-1}0.8)=360(0.75)=270\,\mathrm{kvar},\\ Q_C&=Q'-Q=270-480=-210\,\mathrm{kvar},\\ C&=\frac{|Q_C|}{2\pi fV_L^2} =\frac{210000}{2\pi(60)(12470)^2}\,\mathrm F\\ &=3.5822449\times10^{-6}\,\mathrm F. \end{aligned}

星形每相电容两端电压为 $V_L/\sqrt3$ ，所以 $|Q_C|=\omega CV_L^2$ 已包含三相系数。补偿后总复功率为 $S'=360+j270\,\mathrm{kVA}$ ，新电流为

\begin{aligned} |S'|&=\sqrt{360^2+270^2}=450\,\mathrm{kVA},\\ I_a'&=\frac{(360-j270)10^3}{\sqrt3(12470)}=16.6677-j12.5008\,\mathrm A. \end{aligned}

电容器组的额定无功容量通常用正的幅值表示，其吸收无功则为负，故

\boxed{|Q_C|=210\,\mathrm{kvar}\ (Q_C=-210\,\mathrm{kvar}),\quad C=3.58224\left(\frac{60\,\mathrm{Hz}}{f}\right)\mu\mathrm F\text{／相},\quad I_a'=20.8346\angle-36.8699^\circ\,\mathrm A.}

核对说明

原题未给频率；

60\,\mathrm{Hz}

是从官方解答 PDF 第 10 页明确采用的假设。官方给出的

3.58\,\mu\mathrm F

正确，但把复阻抗

-j740.48\,\Omega

记作了

X_C

。原卷扫描件的手写计算误将补偿后剩余的

270\,\mathrm{kvar}

用于求电容；电容器组需要提供的是

210\,\mathrm{kvar}

。

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