ELECTRICAL ENERGY SYSTEMS / 学习桌

Exam 1秋季 2026·25 分·3 小问

题目 06

变压器试验、标幺电路与电压调整率

变压器 · 等效电路 · 相量·先写方程，再代入数值。

01试卷原题原题措辞

一台单相、25 kVA、220/440 V、60 Hz 的变压器获得如下试验结果。

空载试验（440 V 侧开路）：220 V、9.5 A、650 W

短路试验（220 V 侧短路）：37.5 V、55 A、950 W

02一步一步推导

先读懂这道题

先辨认每次试验的加压侧：空载数据在低压侧测得，短路数据在高压侧测得。分别求并联励磁支路与串联阻抗，再各自除以对应侧的阻抗基准。用统一的标幺电路计算满载电压调整率，并按滞后功率因数画相量。

讲义回顾

a推导以标幺值表示的近似等效电路。

使用第 6 讲 PDF 第 8 页的试验关系。近似认为空载有功功率为铁损、短路有功功率为串联铜损，忽略相应的小修正：

R_c=\frac{V_{\mathrm{oc}}^2}{P_{\mathrm{oc}}},\quad I_c=\frac{P_{\mathrm{oc}}}{V_{\mathrm{oc}}},\quad I_m=\sqrt{I_{\mathrm{oc}}^2-I_c^2},\quad X_m=\frac{V_{\mathrm{oc}}}{I_m},\qquad R_{\mathrm{eq}}=\frac{P_{\mathrm{sc}}}{I_{\mathrm{sc}}^2},\quad |Z_{\mathrm{eq}}|=\frac{V_{\mathrm{sc}}}{I_{\mathrm{sc}}},\quad X_{\mathrm{eq}}=\sqrt{|Z_{\mathrm{eq}}|^2-R_{\mathrm{eq}}^2}.

第一次试验中 $440\,\mathrm V$ 绕组开路，所以 $220\,\mathrm V$ 、 $9.5\,\mathrm A$ 和 $650\,\mathrm W$ 均在低压侧测得。代入得

\begin{aligned} R_{c,L}&=\frac{220^2}{650}=74.46154\,\Omega,\qquad I_{c,L}=\frac{650}{220}=2.954545\,\mathrm A,\\ I_{m,L}&=\sqrt{9.5^2-(650/220)^2}=9.028879\,\mathrm A,\\ X_{m,L}&=\frac{220}{9.028879}=24.36626\,\Omega. \end{aligned}

第二次试验中 $220\,\mathrm V$ 绕组短路，所以 $37.5\,\mathrm V$ 、 $55\,\mathrm A$ 和 $950\,\mathrm W$ 均在高压侧测得：

\begin{aligned} R_{\mathrm{eq},H}&=\frac{950}{55^2}=0.3140496\,\Omega,\\ |Z_{\mathrm{eq},H}|&=\frac{37.5}{55}=0.6818182\,\Omega,\\ X_{\mathrm{eq},H}&=\sqrt{(37.5/55)^2-(950/55^2)^2}=0.6051850\,\Omega. \end{aligned}

取单相额定基准 $S_b=25000\,\mathrm{VA}$ 、 $V_{b,L}=220\,\mathrm V$ 、 $V_{b,H}=440\,\mathrm V$ 。由 $I_b=S_b/V_b$ 和 $Z_b=V_b^2/S_b$ ，分别求两侧基准：

\begin{aligned} I_{b,L}&=25000/220=113.6364\,\mathrm A,& Z_{b,L}&=220^2/25000=1.936\,\Omega,\\ I_{b,H}&=25000/440=56.81818\,\mathrm A,& Z_{b,H}&=440^2/25000=7.744\,\Omega. \end{aligned}

第 6 讲 PDF 第 13 页将标幺值定义为实际值除以基准值。将各阻抗除以其测量侧的阻抗基准；也可先把高压侧串联阻抗乘以 $(220/440)^2=1/4$ ，再除以低压侧基准 $1.936\,\Omega$ ，结果相同。近似等效电路在输入端并联 $R_c$ 与 $jX_m$ ，再经串联阻抗 $r_{\mathrm{eq}}+jx_{\mathrm{eq}}$ 接负载：

\boxed{R_{c,\mathrm{pu}}=\frac{74.46154}{1.936}=38.46154,\quad X_{m,\mathrm{pu}}=\frac{24.36626}{1.936}=12.58588,\quad z_{\mathrm{eq,pu}}=\frac{0.3140496+j0.6051850}{7.744}=0.0405539+j0.0781489.}

核对说明

严格按题面确定试验侧：

440\,\mathrm V

侧开路表示从

220\,\mathrm V

侧加压；

220\,\mathrm V

侧短路表示从

440\,\mathrm V

侧加压。原卷扫描件的手写计算混用了试验符号及功率，不能据此更改题给数据。官方手写解答的电阻分母看起来写成了

53^2

，但题给试验电流为

55\,\mathrm A

，其数值结果

0.314\,\Omega

也对应

950/55^2

，而不是

950/53^2

。本解保留题给的

55\,\mathrm A

。官方解答的侧别正确，但过早将

|Z_{\mathrm{eq},H}|

舍入为

0.68\,\Omega

，进而得到

X_{\mathrm{eq},H}\approx0.603\,\Omega

、

x_{\mathrm{eq}}\approx0.0779

；保留原始数据应得

0.605185\,\Omega

和

0.0781489

。

短路试验电流

55\,\mathrm A

不等于高压侧额定电流

56.81818\,\mathrm A

。提取阻抗时必须使用测得的

55\,\mathrm A

，满载计算则使用额定电流。特别地，

950\,\mathrm W

是试验电流下的铜损，并非恰好满载铜损；按

(56.81818/55)^2

比例换算后约为

1013.85\,\mathrm W

。

b求满载、功率因数为 0.8（滞后）时的电压调整率。

使用第 6 讲 PDF 第 6 页的近似等效电路相量关系和第 10 页的调整率定义，各量均采用一致的标幺基准：

v_1=v_2'+i_2'z_{\mathrm{eq}},\qquad \mathrm{VR}=\frac{|v_1|-|v_2'|}{|v_2'|}\,100\%.

取额定负载端电压为参考，即 $v_2'=1\angle0^\circ$ ，满载电流幅值为 $1$ 标幺。功率因数 $0.8$ 滞后，故电流相角为 $-\cos^{-1}(0.8)=-36.8699^\circ$ ，即 $i_2'=0.8-j0.6$ 。代入 (a) 求得的阻抗：

\begin{aligned} i_2'z_{\mathrm{eq}}&=(0.8-j0.6)(0.0405539239+j0.0781488901)\\ &=(0.8\cdot0.0405539239+0.6\cdot0.0781488901)\\ &\quad+j(0.8\cdot0.0781488901-0.6\cdot0.0405539239)\\ &=0.07933247+j0.03818676,\\ v_1&=1.07933247+j0.03818676,\\ |v_1|&=\sqrt{1.07933247^2+0.03818676^2}=1.080007785. \end{aligned}

这里在近似等效电路内保留了完整相量幅值，但忽略励磁电流对串联压降的小贡献。常用一阶近似仅保留同相压降，得到 $100(r\cos\theta+x\sin\theta)=7.93325\%$ ；计入正交压降则得

\boxed{v_1=1.0800078\angle2.02628^\circ\ \mathrm{pu},\qquad \mathrm{VR}=\frac{1.080007785-1}{1}\,100\%=8.00078\%\approx8.00\%.}

c画出条件 (b) 下的相量图。

使用第 6 讲 PDF 第 6 页的等效电路电压和，将串联压降分为电阻分量与电抗分量：

v_1=v_2'+i_2'r_{\mathrm{eq}}+ji_2'x_{\mathrm{eq}}.

(b) 的条件为 $v_2'=1\angle0^\circ$ 、 $i_2'=1\angle-36.8699^\circ$ 。将负载电压沿正实轴画出，电流位于其下方。电阻压降与电流同相，电抗压降比电流超前 $90^\circ$ 。两压降的实际标幺分量为

\begin{aligned} i_2'r_{\mathrm{eq}}&=(0.8-j0.6)(0.0405539239)=0.03244314-j0.02433235,\\ ji_2'x_{\mathrm{eq}}&=j(0.8-j0.6)(0.0781488901)=0.04688933+j0.06251911,\\ v_2'+i_2'r_{\mathrm{eq}}&=1.03244314-j0.02433235,\\ v_1&=(1.03244314-j0.02433235)+(0.04688933+j0.06251911)\\ &=1.07933247+j0.03818676. \end{aligned}

解答图把电压相量首尾相接，另用放大图展示较小的压降构造。输入电压终点略高于实轴；电流箭头采用独立比例。作图应满足以下相角及终点条件：

\boxed{\arg i_2'=-36.8699^\circ,\quad \arg(i_2'r_{\mathrm{eq}})=-36.8699^\circ,\quad \arg(ji_2'x_{\mathrm{eq}})=53.1301^\circ,\quad v_1=1.0800078\angle2.02628^\circ\ \mathrm{pu}.}

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