单相与平衡三相的瞬时功率

三相交流 · 功率脉动抵消·先写方程，再代入数值。

01试卷原题原题措辞

证明只有单相电路具有二倍频功率分量，而平衡三相电路没有。写出详细步骤。

02一步一步推导

先读懂这道题

用峰值幅度和共同负载角写出每相的电压、电流，利用积化和差公式得到瞬时功率，再明确相加三个二倍频余弦项。被抵消的是平衡三相总功率中的脉动；单独一相仍有脉动。

讲义回顾

a证明只有单相电路具有二倍频功率分量，而平衡三相电路没有。写出详细步骤。

由定义 $p(t)=v(t)i(t)$ 出发，使用公式表的积化和差公式。令 $V_m,I_m$ 为峰值， $\alpha$ 为电压初相角， $\phi$ 为电流滞后角：

v=V_m\cos(\omega t+\alpha),\quad i=I_m\cos(\omega t+\alpha-\phi),\quad \cos A\cos B=\tfrac12[\cos(A-B)+\cos(A+B)]

将这两个正弦量的实际相位代入，得单相瞬时功率：

\begin{aligned} p_{1\phi}(t)&=V_mI_m\cos(\omega t+\alpha)\cos(\omega t+\alpha-\phi)\\ &=\frac{V_mI_m}{2}\left[\cos\phi+\cos(2\omega t+2\alpha-\phi)\right] \end{aligned}

对平衡三相取相位位移 $0,-120^\circ,+120^\circ$ 。记 $u=2\omega t-\phi$ ，三个二倍频项之和为

\begin{aligned} \Sigma&=\cos u+\cos(u-240^\circ)+\cos(u+240^\circ)\\ &=\cos u+2\cos u\cos240^\circ\\ &=\cos u+2\cos u(-\tfrac12)=0 \end{aligned}

每相的常数项相同，相加为三倍。再用 $V=V_m/\sqrt2$ 、 $I=I_m/\sqrt2$ 转换为有效值，即得到公式表的三相有功功率关系：

\boxed{p_{1\phi}=\frac{V_mI_m}{2}\left[\cos\phi+\cos(2\omega t+2\alpha-\phi)\right],\qquad p_{3\phi}=\frac{3V_mI_m}{2}\cos\phi=3VI\cos\phi}

非零正弦电压、电流的单相功率含有 $2\omega$ 分量；平衡三相总功率中的该分量完全抵消，但每相自身仍含二倍频分量。

核对说明

原 PDF 第 7 页仍用峰值符号

V_m,I_m

，却漏掉了系数

1/2

，最后写成

3V_mI_m\cos\phi

。峰值形式应为

3V_mI_m\cos\phi/2

，只有有效值形式才是

3VI\cos\phi

。原解中部分余弦展开的正弦项符号也不一致，上面的对称相加给出完整消去过程。“只有单相”应限于题中比较的情形；不平衡三相电路也可能具有二倍频总功率脉动。原题未编号，Q5 与 (a) 均为编辑性编号，原解续于 PDF 第 7 页。

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