单相交流功率的倍频分量

交流电路 · 瞬时功率·先写方程，再代入数值。

01试卷原题原题措辞

推导并证明单相交流的功率中含有二倍频项。

02一步一步推导

先读懂这道题

从瞬时功率等于正弦电压与电流的乘积出发，应用积化和差公式。注意区分峰值幅度与相量所用的有效值。

讲义回顾

a推导并证明单相交流的功率中含有二倍频项。

使用第 2 讲第 7–9 页的瞬时功率关系，以及公式表中的积化和差恒等式：

p(t)=v(t)i(t),\qquad \cos A\cos B=\tfrac12[\cos(A-B)+\cos(A+B)]

对于单相正弦稳态，设 $V_m,I_m$ 为峰值， $\theta_v,\theta_i$ 为初相位。题目没有指定数值幅度，故代入一般波形求频率组成：

\begin{aligned} v(t)&=V_m\cos(\omega t+\theta_v),\qquad i(t)=I_m\cos(\omega t+\theta_i),\\ p(t)&=V_mI_m\cos(\omega t+\theta_v)\cos(\omega t+\theta_i)\\ &=\frac{V_mI_m}{2}\left[\cos\bigl((\omega t+\theta_v)-(\omega t+\theta_i)\bigr)+\cos\bigl((\omega t+\theta_v)+(\omega t+\theta_i)\bigr)\right]\\ &=\frac{V_mI_m}{2}[\cos(\theta_v-\theta_i)+\cos(2\omega t+\theta_v+\theta_i)]. \end{aligned}

第一项不随时间变化。第二项的角频率为 $2\omega$ ；电源频率为 $f=\omega/(2\pi)$ ，故该项频率为 $2f$ 。它在电源周期 $T=2\pi/\omega$ 内的平均值为零。幅度不依赖于积分变量 $t$ ，余弦项的积分为

\begin{aligned} \frac1T\int_0^T\cos(2\omega t+\theta_v+\theta_i)\,dt &=\frac1T\left[\frac{\sin(2\omega t+\theta_v+\theta_i)}{2\omega}\right]_0^T\\ &=\frac{\sin(4\pi+\theta_v+\theta_i)-\sin(\theta_v+\theta_i)}{2\omega T}=0. \end{aligned}

令有效值 $V=V_m/\sqrt2$ 、 $I=I_m/\sqrt2$ ，得到

\boxed{p(t)=VI\cos(\theta_v-\theta_i)+VI\cos(2\omega t+\theta_v+\theta_i),\qquad f_{\mathrm{ripple}}=2f}

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