ELECTRICAL ENERGY SYSTEMS / 学习桌

Exam 1秋季 2026·25 分·2 小问

题目 05

经电抗线路供电的并联星形与三角形负载

平衡三相电路 · 每相等效电路·先写方程，再代入数值。

01试卷原题原题措辞

如图，一个每相为

18\,\Omega

纯电阻的平衡三角形连接负载，与一个每相为

12\,\Omega

的纯电阻平衡星形连接负载并联。该组合负载经一条每相感抗为

j3\,\Omega

的三相线路，接到线电压有效值为 346.41 V 的平衡三相电源上。以相电压

V_{an}

为参考，求

02一步一步推导

先读懂这道题

先把平衡三角形负载变换成等效星形，再将两个每相阻抗并联，最后串入线路的

j3\,\Omega

。以电源相电压为参考求电流及电源复功率，并区分电源端电压和经过线路压降后的负载端电压。给出线电压相角时采用正序

abc

。

讲义回顾

a从电源吸取的电流、有功功率和无功功率。

使用公式表中的平衡三角形到星形变换（第 3 讲 PDF 第 9 页也给出）、每相电路的欧姆定律，以及第 15 页的三相复功率关系：

Z_{\Delta\to Y}=\frac{Z_\Delta}{3},\qquad I_a=\frac{V_{an}}{Z_{\mathrm{line}}+Z_{\mathrm{load}}},\qquad S_{\mathrm{supply}}=3V_{an}I_a^*.

已知三角形每相电阻为 $18\,\Omega$ 、原星形每相电阻为 $12\,\Omega$ 、电源线电压为 $346.41\,\mathrm V$ 。先合并每相电阻，再求总输入阻抗及电流：

\begin{aligned} Z_{\Delta\to Y}&=18/3=6\,\Omega,\\ Z_{\mathrm{load}}&=12\parallel6=\frac{12(6)}{12+6}=4\,\Omega,\\ Z_{\mathrm{in}}&=4+j3=5\angle36.8699^\circ\,\Omega,\\ V_{an}&=\frac{346.41}{\sqrt3}\angle0^\circ=199.9999\angle0^\circ\,\mathrm V,\\ I_a&\approx\frac{200}{4+j3}=\frac{200(4-j3)}{4^2+3^2}=32-j24\,\mathrm A. \end{aligned}

把 $346.41/\sqrt3$ 近似为 $200$ 所引入的相对误差小于百万分之一。对正序 $abc$ ，另外两相电流相对 $a$ 相分别移相 $-120^\circ$ 和 $+120^\circ$ 。从电源端计算复功率，须包括线路吸收的无功：

\begin{aligned} S_{\mathrm{supply}}&\approx3(200)(32+j24)=19200+j14400\,\mathrm{VA},\\ P_{\mathrm{loads}}&=3|I_a|^2(4)\approx19200\,\mathrm W,\\ Q_{\mathrm{line}}&=3|I_a|^2(3)\approx14400\,\mathrm{var}. \end{aligned}

负载本身均为纯电阻，全部无功由线路吸收，因此

\boxed{I_a\approx40\angle-36.8699^\circ\,\mathrm A,\quad I_b\approx40\angle-156.8699^\circ\,\mathrm A,\quad I_c\approx40\angle83.1301^\circ\,\mathrm A,\quad P\approx19.2\,\mathrm{kW},\quad Q\approx14.4\,\mathrm{kvar}.}

核对说明

原卷扫描件的手写计算没有正确合并每相并联负载。官方解答 PDF 第 12–13 页正确地先将三角形的

18\,\Omega

变成星形的

6\,\Omega

，再计算

12\parallel6=4\,\Omega

。

b组合负载端

a

相的线对中性点电压和线对线电压。

使用第 3 讲 PDF 第 6、18 页的每相线路压降关系及正序线电压关系：

V_{an,\mathrm{load}}=V_{an,\mathrm{supply}}-Z_{\mathrm{line}}I_a,\qquad V_{ab,\mathrm{load}}=\sqrt3V_{an,\mathrm{load}}\angle30^\circ.

由 (a) 得 $I_a\approx32-j24\,\mathrm A$ ；电源参考电压为 $V_{an,\mathrm{supply}}\approx200\angle0^\circ\,\mathrm V$ 。代入线路阻抗，逐项求压降和负载相电压：

\begin{aligned} Z_{\mathrm{line}}I_a&=j3(32-j24)=72+j96\,\mathrm V,\\ V_{an,\mathrm{load}}&=200-(72+j96)=128-j96\,\mathrm V,\\ |V_{an,\mathrm{load}}|&=\sqrt{128^2+96^2}=160\,\mathrm V,\\ \arg V_{an,\mathrm{load}}&=-\tan^{-1}(96/128)=-36.8699^\circ. \end{aligned}

将相电压乘以 $\sqrt3\angle30^\circ$ ，得到 $a$ 相对 $b$ 相的线电压；两者相角仍以电源相电压为参考：

\boxed{V_{an,\mathrm{load}}\approx160\angle-36.8699^\circ\,\mathrm V,\qquad V_{ab,\mathrm{load}}\approx277.128\angle-6.8699^\circ\,\mathrm V.}

核对说明

官方解答 PDF 第 13 页将

V_2=160\angle-36.87^\circ

的单位误印为“A”，应为伏特。官方的线电压幅值

277.1\,\mathrm V

正确。原题未明确相序：两种相序下线电压幅值相同，而本解中的

+30^\circ

相移采用正序

abc

。

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